☛ ln(2)

Pour tout entier naturel \(n\) , on pose \(I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x}\mbox{d}x}\) .

1. Pour tout réel \(x \in[0~;~1]\) , on a  \(0\leqslant \dfrac{x^n}{1+x}\leqslant x^n\) . Donc par croissance de l'intégrale,   \(\displaystyle{\int_0^10\mbox{d}x\leqslant \int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\mbox{d}x\leqslant \int_0^1x^n\mbox{d}x}\)  soit \(0\leqslant I_n\leqslant\dfrac{1}{n+1}\) .

Comme \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{1}{n+1}=0\) , alors, d'après le théorème des gendarmes, \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}I_n=0\) .

2. a. Pour tout entier naturel \(k\)  non nul, on a \(I_{k-1}+I_k ={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{k-1}}{1+x}\mbox{d}x}+{\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{k}}{1+x}\mbox{d}x}={\displaystyle \int_{0}^{1}x^{k-1}\left(\dfrac{1+x}{1+x}\right)\mbox{d}x}= \dfrac1k\) .

    b. On remarque que \((I_0+I_1)-(I_1+I_2)  + (I_2+I_3)  - (I_3+I_4)+ ... +(-1)^{n-1}(I_{n-1}+I_n) =\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\) . 
En simplifiant le membre de gauche, on trouve \(I_0 + (-1)^{n-1}I_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\) .
Comme \(I_0 = \ln(2)\) et \(I_n \to 0\) , on peut conclure que   \(\displaystyle\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim} \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln2\) .